Fisikawan Temukan Pendekatan Baru Untuk Teka-Teki Matematika
Fisikawan Temukan Pendekatan Baru Untuk Teka-Teki Matematika – Angka seperti, e dan sering muncul di tempat yang tidak terduga dalam sains dan matematika. Segitiga Pascal dan deret Fibonacci juga tampak tersebar luas secara misterius. Lalu ada fungsi zeta Riemann, fungsi yang menipu secara langsung yang telah membingungkan para matematikawan sejak abad ke-19.
Kebingungan yang paling terkenal, hipotesis Riemann, mungkin merupakan pertanyaan terbesar yang belum terpecahkan dalam matematika, dengan Clay Mathematics Institute menawarkan hadiah $1 juta untuk bukti yang benar.
Fisikawan UC Santa Barbara, Grant Remmen, percaya bahwa dia memiliki pendekatan baru untuk menjelajahi keanehan fungsi zeta. Dia telah menemukan analog yang menerjemahkan banyak sifat penting fungsi ke dalam teori medan kuantum . Ini berarti bahwa para peneliti sekarang dapat memanfaatkan alat-alat dari bidang fisika ini untuk menyelidiki fungsi zeta yang penuh teka-teki dan anehnya ada di mana-mana. Karyanya bahkan bisa mengarah pada bukti hipotesis Riemann. Remmen memaparkan pendekatannya dalam jurnal Physical Review Letters.
“Fungsi zeta Riemann adalah fungsi matematika yang terkenal dan misterius yang muncul dalam teori bilangan di semua tempat,” kata Remmen, seorang sarjana postdoctoral di Institut Kavli untuk Fisika Teoritis UCSB. “Ini telah dipelajari selama lebih dari 150 tahun.”
Perspektif luar
Remmen umumnya tidak berhasil memecahkan pertanyaan terbesar dalam matematika. Dia biasanya sibuk menjawab pertanyaan-pertanyaan terbesar dalam fisika. Sebagai rekan fisika fundamental di UC Santa Barbara, ia biasanya mencurahkan perhatiannya pada topik-topik seperti fisika partikel , gravitasi kuantum , teori string, dan lubang hitam. “Dalam teori energi tinggi modern, fisika skala terbesar dan skala terkecil sama-sama menyimpan misteri terdalam,” katanya.
Salah satu spesialisasinya adalah teori medan kuantum, yang ia gambarkan sebagai “kemenangan fisika abad ke-20” . Kebanyakan orang telah mendengar tentang mekanika kuantum (partikel subatom, ketidakpastian, dll.) dan relativitas khusus (pelebaran waktu, E=mc 2, dan seterusnya).
“Tetapi dengan teori medan kuantum, fisikawan menemukan cara menggabungkan relativitas khusus dan mekanika kuantum ke dalam deskripsi bagaimana partikel bergerak pada atau mendekati kecepatan cahaya berperilaku,” jelasnya.
Teori medan kuantum bukanlah teori tunggal. Ini lebih seperti kumpulan alat yang dapat digunakan para ilmuwan untuk menggambarkan serangkaian interaksi partikel.
Remmen menyadari salah satu konsep di dalamnya berbagi banyak karakteristik dengan fungsi zeta Riemann. Ini disebut amplitudo hamburan , dan mengkodekan probabilitas mekanika kuantum bahwa partikel akan berinteraksi satu sama lain. Dia tertarik.
Amplitudo hamburan sering bekerja dengan baik dengan momentum yang merupakan bilangan kompleks. Angka-angka ini terdiri dari bagian nyata dan bagian imajiner kelipatan dari -1, yang oleh ahli matematika disebut i . Amplitudo hamburan memiliki sifat bagus di bidang kompleks. Untuk satu, mereka analitik (dapat dinyatakan sebagai rangkaian) di sekitar setiap titik kecuali satu set kutub tertentu, yang semuanya terletak di sepanjang garis.
“Itu tampak mirip dengan apa yang terjadi dengan nol fungsi zeta Riemann, yang semuanya tampak dalam satu garis,” kata Remmen. “Jadi saya berpikir tentang bagaimana menentukan apakah kesamaan yang tampak ini adalah sesuatu yang nyata.”
Kutub amplitudo hamburan sesuai dengan produksi partikel, di mana peristiwa fisik terjadi yang menghasilkan partikel dengan momentum. Nilai setiap kutub sesuai dengan massa partikel yang dibuat. Jadi itu adalah masalah menemukan fungsi yang berperilaku seperti amplitudo hamburan dan yang kutubnya sesuai dengan nol non-sepele dari fungsi zeta.
Dengan pena, kertas, dan komputer untuk memeriksa hasilnya, Remmen mulai merancang sebuah fungsi yang memiliki semua properti yang relevan. “Saya memiliki ide untuk menghubungkan fungsi zeta Riemann dengan amplitudo di benak saya selama beberapa tahun,” katanya. “Begitu saya mulai menemukan fungsi seperti itu, saya membutuhkan waktu sekitar satu minggu untuk membangunnya, dan sepenuhnya menjelajahi propertinya dan menulis makalah membutuhkan waktu beberapa bulan.”
Sederhana sekali
Pada intinya, fungsi zeta menggeneralisasi deret harmonik:
Deret ini meledak hingga tak terhingga ketika x 1, tetapi konvergen ke bilangan aktual untuk setiap x > 1.
Pada tahun 1859 Bernhard Riemann memutuskan untuk mempertimbangkan apa yang akan terjadi jika x adalah bilangan kompleks. Fungsi tersebut, sekarang menyandang nama Riemann zeta, mengambil satu bilangan kompleks dan mengeluarkan bilangan kompleks lainnya.
Riemann juga memutuskan untuk memperluas fungsi zeta ke angka di mana komponen nyata tidak lebih besar dari 1 dengan mendefinisikannya dalam dua bagian: definisi yang sudah dikenal berlaku di tempat-tempat di mana fungsi berperilaku, dan definisi implisit lainnya mencakup tempat-tempat di mana ia biasanya akan meledak. hingga tak terhingga.
Berkat teorema dalam analisis kompleks, matematikawan tahu hanya ada satu formulasi untuk area baru ini yang dengan mulus mempertahankan sifat-sifat fungsi aslinya. Sayangnya, belum ada yang bisa merepresentasikannya dalam bentuk dengan banyak istilah yang terbatas, yang merupakan bagian dari misteri seputar fungsi ini.
Mengingat kesederhanaan fungsi, itu harus memiliki beberapa fitur yang bagus. “Namun, sifat-sifat itu akhirnya menjadi sangat rumit untuk dipahami,” kata Remmen. Misalnya, ambil input di mana fungsinya sama dengan nol. Semua bilangan genap negatif dipetakan ke nol, meskipun ini terlihat jelas atau “sepele” seperti yang dikatakan ahli matematika ketika fungsi zeta ditulis dalam bentuk tertentu.
Apa yang membingungkan para matematikawan adalah bahwa semua nol non-sepele lainnya tampaknya terletak di sepanjang garis: Masing-masing memiliki komponen nyata dari.
Riemann berhipotesis bahwa pola ini berlaku untuk semua nol non-sepele ini, dan tren telah dikonfirmasi untuk beberapa triliun pertama dari mereka. Yang mengatakan, ada dugaan yang bekerja untuk triliunan contoh dan kemudian gagal pada jumlah yang sangat besar. Jadi matematikawan tidak bisa memastikan hipotesis itu benar sampai terbukti.
Tetapi jika itu benar, hipotesis Riemann memiliki implikasi yang luas. “Untuk berbagai alasan, itu muncul di semua tempat dalam pertanyaan mendasar dalam matematika,” kata Remmen. Postulat dalam bidang yang berbeda seperti teori komputasi, aljabar abstrak, dan teori bilangan bergantung pada hipotesis yang berlaku. Misalnya, membuktikannya akan memberikan penjelasan yang akurat tentang distribusi bilangan prima.
Analog fisik
Amplitudo hamburan yang ditemukan Remmen menggambarkan dua partikel tak bermassa yang berinteraksi dengan bertukar kumpulan partikel masif yang tak terbatas, satu per satu. Fungsi tersebut memiliki kutub titik yang tidak dapat dinyatakan sebagai deret sesuai dengan massa setiap partikel antara. Bersama-sama, kutub tak terbatas berbaris dengan nol non-sepele dari fungsi zeta Riemann.
Apa yang dibangun Remmen adalah komponen utama dari interaksi. Ada jauh lebih banyak yang masing-masing menjelaskan aspek interaksi yang lebih kecil dan lebih kecil, menggambarkan proses yang melibatkan pertukaran beberapa partikel masif sekaligus. “Amplitudo tingkat loop” ini akan menjadi subjek pekerjaan di masa depan.